การทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำด้วยวิธีคณิตศาสตร์จีนโบราณ ตาม “ตำราว่าด้วยตัวเลขและการคำนวณ” (筭數書 – ซ่วนชู่ชู)

ตำราว่าด้วยตัวเลขและการคำนวณ (筭數書) เป็นหนึ่งในตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของจีน. ตำราซ่วนชู่ชูถูกประพันธ์ขึ้นในยุคราชวงศ์ฮั่นตะวันตก ราว 202-186 ปีก่อนคริสตกาล. ผมได้อ่านตำรานี้ฉบับที่แปลโดยคริสโตเฟอร์ คูลเลน (Christopher Cullen) จากสถาบันนีดแฮม (Needham Institute), สถาบันจีนศึกษาที่เน้นประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจีนโบราณ. ผมพบว่าการคำนวณด้วยวิธีแบบจีนโบราณนั้นต่างไปจากแบบตะวันตกที่เราทุกคนถูกฝึกมามาก. เมื่อได้ลองคำนวณโจทย์ง่ายๆ ก็พบว่าสนุกและน่าสนใจดี

ในกระทู้นี้, ผมจะสาธิตการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำตามวิธีที่แสดงในตำราซ่วนชู่ชู (ซึ่งท่านสามารถดาวน์โหลดได้จาก here).

ข้อความจากหนังสือ

S17,S18(long gap)

(7) Simplifying parts
(a) The method for simplifying parts: Take the numerator from the denominator; in turn take the denominator from the numerator. When the numbers [on the sides of] the numerator and denominator are equal to one another, then you can go on to simplify.

(b) Further, the method for simplifying parts:
What can be halved, halve it. Where one [can be counted for each multiple] of some amount, [count] one for [each multiple of] that amount.

(c) ・ One method:
Take the numerator of the part from the denominator. [If that is] the lesser take the denominator from the numerator. When [the numbers on the sides of] the numerator and denominator are equal, take that [number] as the divisor. For numerator and denominator complete one for [each time] they accommodate the divisor.

Source: Culen, C. (2004). Suanshushu 筭數書: Preliminary matter. The Needham Research Institute, Cambridge UK.

เราสามารถแสดงตัวอย่างการคำนวณตามวิธีข้างต้นได้ดังนี้,

1. ยกตัวอย่างเช่นหากเราต้องการทำเศษส่วน 852/5248 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ, เราจะต้องเริ่มจากการพยายามหักจำนวนข้างต้นด้วยครึ่งนึงของมันจนกว่าจะไม่สามารถหักลบต่อไปได้อีก (หรือพูดในภาษาสมัยใหม่คือการหารด้วย 2 ทั้งเศษและส่วนจนกว่าจะหารต่อไปไม่ได้อีก). ซึ่งในที่สุดเราจะได้เศษส่วน 213/1312 มา.

2. หักลบจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่าไปเรื่อยๆ จนผลต่าง (ในที่นี้คือ 34) มีค่าน้อยกว่าตัวลบเดิม (ตัวลบเดิมในที่นี้คือ 213). จากนั้นให้นำตัวลบเดิมมาตั้งและลบด้วยจำนวนที่น้อยกว่าไปเรื่อยๆ จำนวนสุดท้ายที่ได้มาก็คือ “ตัวหารร่วมมาก” หรือ ห.ร.ม. (ที่มีนิยามว่า “จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว”) ของเศษและส่วนนั่นเอง. นั่นหมายความว่าถ้าหากทำไปถึงที่สุดแล้วได้ 1 แสดงว่าเศษส่วนที่ได้มาในขั้นตอนที่ 1 นั้นเป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว (เพราะ ห.ร.ม. ของเศษและส่วนคือ 1), แต่ถ้าได้จำนวนที่ไม่เท่ากัน 1 ให้นำ ห.ร.ม. นั้นหารทั้งเศษและส่วนจึงจะได้เศษส่วนอย่างต่ำในที่สุด.

ตัวอย่าง

1312 – 213 = 1099
1099 – 213 = 886
886 – 213 = 673
673 – 213 = 460
460 – 213 = 247
247 – 213 = 34

นำตัวลบเดิมมาตั้งและลบด้วยจำนวนน้อยกว่าไปเรื่อยๆ

213 – 34 = 179
179 – 34 = 145
145 – 34 = 111
111 – 34 = 77
77 – 34 = 43

43 – 34 = 9

34 – 9 = 25
25 – 9 = 16
16 – 9 = 7

9 – 7 = 2

7 – 2 = 5
5 – 2 = 3

3-2 = 1
2 – 1 = 1

การทำให้เศษส่วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำตามวิธีข้างต้น ใช้การคำนวณทั้งหมด 22 ครั้ง (จำนวนของการหาร + จำนวนของการลบ). ผู้อ่านอาจรู้สึกว่าการคำนวณง่ายๆ เช่นนี้ต้องใช้ขั้นตอนและเวลามากมาย แต่ในห้วงเวลาที่ยังโลกยังไม่มีเครื่องคิดเลข การคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยการทำซ้ำๆ (iteration) เป็นวิธีการที่เหมาะสมในทางปฏิบัติมากที่สุด. อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์จีนโบราณไม่ได้คำนวณทั้งหมดในหัว (และลูกคิดก็ไม่เหมาะสมกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน) แต่พวกเขาใช้สิ่งที่เรียกว่า “แท่งคำนวณ” ร่วมกับ “ตารางคำนวณ” (ดูตัวอย่างได้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/Counting_rods). ด้วยเหตุที่คณิตศาสตร์จีนโบราณใช้แท่งคำนวณนี่เอง, สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของจีนโบราณจึงอิงกับแท่งคำนวณและแตกต่างไปจากสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แบบตะวันตกที่เรารู้จัก.

ผู้อ่านสามารถลองทำเศษส่วน 162/2016 ซึ่งเป็นตัวอย่างจากตำราให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำดูได้

ผมได้เขียนโค้ดไพธอนเล็กๆ เพื่อแสดงการทำให้เศษส่วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำตามวิธีข้างต้นมาท้ายนี้ด้วย

#!/usr/bin/env python
import sys

def highest_common_factor(numerator, denominator):
    """The highest common factor between the numerator and the denominator
    can be calculated according to the algorithm described in Suanshushu S17&S18"""

    #1. find the largest part
    if numerator > denominator:
        larger = numerator
        smaller = denominator
    elif numerator < denominator:
        larger = denominator
        smaller = numerator
    else:
        return 1

    global itr
    print('iteration = '
          + str(itr) + ', '
          + str(larger) + ' - '
          + str(smaller) + ' = '
          + str(larger-smaller))

    #2. subtract recursively until the result is equal to the subtractor
    if larger-smaller == smaller:
        return smaller

    itr += 1

    return highest_common_factor(larger-smaller, smaller)

def half_recursive(numerator, denominator):
    """ Simplify the fraction as much as possible by diviing
    each part with its own half recursively"""
    global itr

    if not(numerator%2==0 and denominator%2==0):
	print('iteration = ' + str(itr)
          + ', numerator = '
          + str(numerator)
          + ', denominator = '
          + str(denominator)
          + '.\n')
	itr += 1
        return numerator, denominator

    print('iteration = ' + str(itr)
          + ', numerator = '
          + str(numerator)
          + ', denominator = '
          + str(denominator)
          + '.\n')
    itr += 1

    return half_recursive(numerator/2, denominator/2)

def main():
    """ Main method """

    #1. Simplify the fractions by dividing the numerator and the denominator by their halves as mush as possible

    """What can be halved, halve it. Where one [can be counted or
    each mutiple] of some amount, [count] one for [each multiple of] that amount.

    Source: Culen, C. Suanshushu. The Needham Research Institute, Cambridge UK"""
    global itr
    itr = 0 #iternation count
    if len(sys.argv) != 2:
        print('You did not specify a fraction as an argument. For example, ./simplifying_parts.oy 162/2016\n')
        exit()

    numerator = int(sys.argv[1].split('/')[0])
    denominator = int(sys.argv[1].split('/')[1])
    numerator, denominator = half_recursive(numerator, denominator)

    #2. Find the highest common diviser by subtracting the greater number with the lower number recursively

    """Take the numerator from the denominator; in turn take the
    denominator from the numerator. When the numbers [on the sides of]
    the numerator and denominator are equal to one another, then you can go on to simplify.

    Source: Culen, C. Suanshushu. The Needham Research Institute, Cambridge UK"""
    hcf= highest_common_factor(numerator, denominator)
    simplified_fraction = [numerator/hcf, denominator/hcf]

    print('The simplified fraction is '
          + str(simplified_fraction[0])
          + '/'
          + str(simplified_fraction[1])
          + '. The calculation requires '
          + str(itr)
          + ' iterations.\n')

if __name__ == "__main__":
    main()

แสดงผลตามตัวอย่างดังนี้,